Question

已知f（x）=e^x+e^-x+2|x|，又不等式f（ax）＞f（x-1）在x∈[

1

2

，+∞)恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

A．（1，+∞）

B．（-∞，-1）

C．（-1，1）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：先判斷函數f（x）為偶函數，當x＞0時，由f′（x）＞0可得函數f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函數．由已知的不等式可得|ax|＞|x-1|，即|a|＞|1-

1

x

|在[

1

2

，+∞)恒成立．
由于在[

1

2

，+∞)上，|1-

1

x

|≤1，可得|a|＞1，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：由于函數f（x）=e^x+e^-x+2|x|為偶函數，當x＞0時，由f′（x）=e^x-e^-x+2＞0，
可得函數f（x） 在（0，+∞）上是增函數，故函數f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函數．
又不等式f（ax）＞f（x-1）在[

1

2

，+∞)恒成立，∴|ax|＞|x-1|，故有|a|＞|

x-1

x

|=|1-

1

x

|在[

1

2

，+∞)恒成立，
故|a|大于|1-

1

x

|在[

1

2

，+∞)上的最大值．
由于在[

1

2

，+∞)上，|1-

1

x

|≤1，
∴|a|＞1，解得a＞1，或 a＜-1，
即實數a的取值范圍是 （-∞，-1）∪（1，+∞）．
故選D．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，函數的恒成立問題，絕對值不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．