Question

定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項、公比均為

1

2

．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為

1

7

？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

Answer 1

（1）依條件得：a3k-1=

1

23k-1

(k∈N*)，
∴無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的首項為a₂=

1

22

，公比為

1

23

，
則無窮等比數(shù)列{a_3k-1}各項的和為：

a2

1- 1 23

=

1 22

7 8

=

2

7

；
（2）設(shè)此子數(shù)列的首項為a₁，公比為q，由條件得：0＜q≤

1

2

，
則

1

2

≤1-q＜1，即 1＜

1

1-q

≤2，
∴a1=

1

7

(1-q)∈[

1

14

 ，

1

7

)
而 a1=

1

2m

 (m∈N*)，
則 a1=

1

8

 ，q=

1

8

，
所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為

1

8

，
其通項公式為an=(

1

8

)n，n∈N^*；
（3）問題：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1．設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為

1

2a

、

1

2m

和

1

2b

、

1

2n

，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，則

1 2a

1- 1 2m

•

1 2b

1- 1 2n

=1?

2(m+n)-(a+b)

(2m-1)(2n-1)

=1?2(m+n)-(a+b)=(2m-1)(2n-1)，
因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)．
故等式不可能成立，即假設(shè)錯誤，
所以這樣的兩個子數(shù)列不存在．