Question

（本小題滿分14分）

        在數列和中，已知，其中且。

   （I）若，求數列的前n項和；

   （II）證明：當時，數列中的任意三項都不能構成等比數列；

   （III）設集合，試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得，若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）略（3）b=1

【解析】（I）因為           …………1分

由

所以                                            …………3分

因為                                  …………4分

所以是等差數列，                              …………4分

所以數列…………5分

   （II）由已知

假設成等比數列，其中，且彼此不等，

則                          …………6分

[來源:Zxxk.Com]

可得矛盾。                                           …………7分

為無理數，

所以是整數矛盾。   …………9分

所以數列中的任意三項都不能構成等比數列。

   （III）設存在實數，

所以整除。                                           …………10分

   （1）當

所以                                                   …………11分

   （2）當，

所以，當且僅當整除。            …………12分

   （3）當時 ，

整除。                                                 …………13分[來源:學*科*網]

綜上，在區間[1，a]上存在實數b，使成立，且當b=1時，

       …………14分