Question

已知a＞0,函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax.?

(1)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)為l,若l與圓(x+1)²+y²=1相切,求a的值;?

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

解析:(1)依題意,有x＜2,f′(x)=a+,?

過(guò)(1,f(1))點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為a-1,所以過(guò)(1,f(1))點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y-a=(a-1)(x-1).?

又已知圓圓心為(-1,0),半徑為1,?

依題意,有=1.解之,得a=1.?

(2)f′(x)= =a［x-(2-)］,?

當(dāng)a＞0時(shí),2-＜2,?

令f′(x)＞0,解得x＜2-;?

令f′(x)＜0,解得2-＜x＜2.?

所以(-∞,2-)是f(x)的增區(qū)間;?

(2-,2)是f(x)的減區(qū)間.?

(3)當(dāng)2-≤0,即0＜a≤時(shí),f(x)在［0,1］上是減函數(shù),?

所以f(x)的最小值為f(1)=a.?

當(dāng)0＜2-＜1,即＜a＜1時(shí),f(x)在(0,2-)上是增函數(shù),在(2-,1)上是減函數(shù),?

所以需比較f(0)=ln2和f(1)=a兩個(gè)值的大小.?

因?yàn)?SUB>＜2＜e,所以=lne＜ln2＜lne=1.?

所以,當(dāng)＜a＜ln2時(shí),最小值為a;當(dāng)ln2≤a＜1時(shí),最小值為ln2.?

當(dāng)2-≥1,即a≥1時(shí),f(x)在［0,1］上是增函數(shù),所以最小值為f(0)=ln2.?

綜上,當(dāng)0＜a＜ln2時(shí),f(x)的最小值為a,當(dāng)a≥ln2時(shí),f(x)的最小值為ln2.