Question

（本小題滿分14分）

（本題滿分14分）設函數＝，∈R

（1）若＝為的極值點，求實數；

（2）求實數的取值范圍，使得對任意的（0,3]，恒有≤4成立.

注：為自然對數的底數。

 

Answer 1

【答案】

（1） 或；（2）.

【解析】第一問利用導數在＝為的極值點，先求導，然后在x=e處的導數值為零得到a的值。

第二問中，要是對任意的（0,3]，恒有≤4成立，只需求解函數y=f(x)在給定區間（0,3]的最大值小于等于4即可。

解:(1)求導得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).（2分）

 因為x=e是f(x)的極值點，所以f’(e)= ，（3分）

解得 或，經檢驗，符合題意，所以 或。（4分）

（2）解:①當時，對于任意的實數a,恒有成立，（6分）

    ②當，由題意，首先有，

     解得             （7分）

由（Ⅰ）知，，

則，，

 且

=。               （8分）

又在（0，+∞）內單調遞增，所以函數在（0，+∞）內有唯一零

點，記此零點為，則，。從而，當時，；

當時，；當時，，即在內

單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增。     （10分）

所以要使對恒成立，只要

        成立。

，知（3）

將（3）代入（1）得，                   （12分）

又，注意到函數在[1,+∞)內單調遞增，故。

再由（3）以及函數2xlnx+x在（1.+ +∞)內單調遞增，可得。

由（2）解得，。

所以

綜上，a的取值范圍為。                （14分）