Question

在平面直角坐標系xOy中,F是拋物線C:x²=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點,過M,F,O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
(3)若點M的橫坐標為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當≤k≤2時,|AB|²+|DE|²的最小值.

Answer 1

（1）x²=2y  （2）存在點M(,1)  （3）

解析解:(1)依題意知F,圓心Q在線段OF的垂直平分線y=上,
因為拋物線C的準線方程為y=-,
所以=,
即p=1.
因此拋物線C的方程為x²=2y.
(2)假設存在點M(x₀>0)滿足條件,拋物線C在點M處的切線斜率為y′==x₀,
所以直線MQ的方程為y-=x₀(x-x₀).
令y=得x_Q=+.
所以Q（+,）.
又|QM|=|OQ|,
故（-）²+（-）²=（+）²+,
因此（-）²=.
又x₀>0,
所以x₀=,此時M(,1).
故存在點M(,1),
使得直線MQ與拋物線C相切于點M.
(3)當x₀=時,由(2)得Q（,）,
☉Q的半徑為r==,
所以☉Q的方程為（x-）²+（y-）²=.
由
整理得2x²-4kx-1=0.
設A,B兩點的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),
由于Δ₁=16k²+8>0,x₁+x₂=2k,x₁x₂=-,
所以|AB|²=(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]
=(1+k²)(4k²+2).
由
整理得(1+k²)x²-x-=0.
設D,E兩點的坐標分別為(x₃,y₃),(x₄,y₄),
由于Δ₂=+>0,x₃+x₄=,
x₃x₄=-.
所以|DE|²=(1+k²)[(x₃+x₄)²-4x₃x₄]
=+.
因此|AB|²+|DE|²=(1+k²)(4k²+2)+  +.
令1+k²=t,
由于≤k≤2,
則≤t≤5,
所以|AB|²+|DE|²=t(4t-2)++
=4t²-2t++