Question

已知橢圓：＝1（a＞b＞0）與雙曲線有公共焦點，且離心率為． 分別是橢圓的左、右頂點． 點是橢圓上位于軸上方的動點．直線分別與直線：交于兩點．

（I）求橢圓的方程；

（II）當線段的長度最小時，在橢圓上是否存在點，使得的面積為？若存在，求出的坐標，若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）由已知得橢圓的焦點為，

，又 ，，橢圓的方程為.   ……..（4分）

（II）直線的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而                                                         ……..（5分）

由得0

設則得從而        

即所以

 得                         ……. ……..（7分）

故又

當且僅當，即時等號成立

時，線段的長度取最小值．                         ……..（9分）

 此時的方程為      

要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上．設直線

則由解得或                     

①當時由得，由于故直線與橢圓沒有交點．

 

②當時，由，得

由于，故直線與橢圓有兩個不同的交點或；

綜上所述，當線段的長度最小時，在橢圓上僅存在兩個不同的點或，使得的面積為．                      ……………..（12分）

 

【解析】略