Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(X)構(gòu)成的集合：

①方程有實(shí)數(shù)根；

②函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (滿足”

(I )若函數(shù)為集合M中的任一元素，試證明萬(wàn)程只有一個(gè)實(shí)根_；

(II)    判斷函^是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；

(III)   “對(duì)于（II)中函數(shù)定義域內(nèi)的任一區(qū)間，都存在，使得”，請(qǐng)利用函數(shù)的圖象說(shuō)明這一結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）令，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞減

所以，使，即成立的至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

又由題設(shè)①知方程有實(shí)數(shù)根，

所以，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）由題意易知，，滿足條件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

令，

則，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

又在區(qū)間上連續(xù)，所以在上存在零點(diǎn)，

即方程有實(shí)數(shù)根，故滿足條件①，

綜上可知，；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，

而，

所以原式等價(jià)于，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

該等式說(shuō)明函數(shù)上任意兩點(diǎn)和的連線段 （如圖所示），在曲線上都一定存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn) 處的切線平行于，根據(jù)圖象知該等式一定成立.

【解析】略