Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點為B，且經(jīng)過F₁，F(xiàn)₂點．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，-

4

5

），N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點為B，且經(jīng)過F₁，F(xiàn)₂點．求出B，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂點的坐標，即可求出橢圓的半長軸與半焦距，再求出a寫出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²-1），表示出過點N的拋物線的切線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長公式表示出線段PQ的長度，再求出點M到直線PQ的距離為d，表示出△MPQ面積，由于其是參數(shù)t的函數(shù)，利用函數(shù)的知識求出其最值即可得到，△MPQ的面積的最大值

解答：解：（Ⅰ）由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．
令y=0得x²-1=0即x=±1，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），故c=1．
所以a²=b²+c²=5．于是橢圓C₁的方程為：

x2

5

+

y2

4

=1．（3分）
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²-1），由于y'=2x知直線PQ的方程為：y-（t²-1）=2t（x-t）．即y=2tx-t²-1．（4分）
代入橢圓方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），x1+x2=

5t(t2+1)

1+5t2

，x1x2=

5(t2+1)2-20

4(1+5t2)

，
故|PQ|=

1+4t2

|x1-x2|=

1+4t2

.

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

．（7分）
設(shè)點M到直線PQ的距離為d，則d=

| 4 5 -t2-1|

1+4t2

=

|t2+ 1 5 |

1+4t2

．（9分）
所以，△MPQ的面積S=

1

2

|PQ|•d=

1

2

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

•

t2+ 1 5

1+4t2

=

5

10

-t4+18t2+3

=

5

10

-(t2-9)2+84

≤

5

10

84

=

105

5

（11分）
當t=±3時取到“=”，經(jīng)檢驗此時△＞0，滿足題意．
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為

105

5

．（12分）

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程求出橢圓方程中參數(shù)的值，以及利用拋物線線上的點的切線方程與圓聯(lián)立利用弦長公式與點到直線的距離公式分別求出三角形的底邊長度與高，表示出△MPQ的面積利用函數(shù)的知識求出最值，本題綜合性強，運算量大，要避免運算出錯，變形出錯．