Question

已知數列是首項為1，公差為的等差數列，數列是首項為1，公比為的等比
數列．
（1）若，，求數列的前項和；
（2）若存在正整數，使得．試比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

(1);(2) 當時，；當時，；當時，．

試題分析：(1)利用基本量思想求解兩個數列的通項公式，然后才有錯位相減法求解數列的前項和；（2）利用等量關系關系，減少公差d，進而將與進行表示，然后才有作差比較進行分析，注意分類討論思想的應用.
試題解析：（1）依題意，，
故，
所以，                                       3分
令，            ①
則，   ②
①②得，，

，
所以．                                          7分
（2）因為，
所以，即，
故，
又，                                                         9分
所以


11分
（ⅰ）當時，由知



，                                                  13分
（ⅱ）當時，由知



，
綜上所述，當時，；當時，；當時，．      16分
（注：僅給出“時，；時，”得2分．）
方法二：（注意到數列的函數特征，運用函數性質求解）
(易知)，
令，有，，
令，則．記．
若，則在上，函數在上為單調增函數，則，
這與相矛盾；
若，則在上，函數在上為單調減函數，則，
這與相矛盾；
所以，．
故在上，函數在上為單調減函數，
在上，函數在上為單調增函數．
因為，所以，當時，，當時，，
所以，當時，，即，
當時，，即，
綜上所述，當時，；當時，；當時，．