Question

已知向量

a

=(sin(

x

2

+

π

12

)，  cos

x

2

)，

b

=(cos(

x

2

+

π

12

)，  -cos

x

2

)，x∈[

π

2

，  π]，函數f（x）=

a

•

b

．
（1）若cosx=-

3

5

，求函數f（x）的值；
（2）若函數f（x）的圖象關于直線x=x₀對稱，且x₀∈（-2，-1），求x₀的值．

Answer 1

分析：利用向量的數量積，二倍角公式以及兩角和與差的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）利用x的范圍，結合cosx=-

3

5

，求出sinx的值，然后求函數f（x）的值；
（2）函數f（x）的圖象關于直線x=x₀對稱，就是x=x₀，函數取得最值，求出x₀的值，通過x₀∈（-2，-1），即可求x₀的值．

解答：解：函數f（x）=

a

•

b

=sin(

x

2

+

π

12

)cos(

x

2

+

π

12

)-cos2

x

2

=

1

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

(1+cosx)…（3分）
=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

1

2

sin(x-

π

6

)-

1

2

．…（6分）
（1）∵x∈[

π

2

，  π]，cosx=-

3

5

，∴sinx=

4

5

，…（9分）
∴f(x)=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

3

5

-

7

20

．                       …（11分）
（2）∵f（x）的圖象關于直線x=x₀對稱，
∴x0-

π

6

=kπ+

π

2

，∴x0=kπ+

2π

3

，k∈Z．…（14分）
∵x₀∈（-2，-1），
∴x0=-

π

3

．                                …（16分）

點評：本題是中檔題，考查向量的數量積的應用，三角函數的化簡求值，函數的對稱性的應用，考查計算能力，轉化思想．