Question

已知各項均為正數的兩個數列{a_n}和{b_n}滿足：a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

，n∈N^﹡，
（Ⅰ）設b_n+1=1+

bn

an

，n∈N^﹡，求證：
（1）

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

；
（2）數列{(

bn

an

)2}是等差數列，并求出其公差；
（Ⅱ）設bn+1=

2

•

bn

an

，n∈N^﹡，且{a_n}是等比數列，求a₁和b₁的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）通過b_n+1=1+

bn

an

，化簡a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

，推出

bn+1

an+1

的比值，得到恒等式即可．
（2）通過（1）的關系式，利用兩邊平方，即可證明所證明的數列是等差數列，求出公差．
（Ⅱ）利用反證法證明等比數列{a_n}的公比為q=1，推出a₁的范圍，利用bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

．推出b₁、b₂、b₃中至少有兩項相同，得到a₁=

2

．然后求出b₁的值．

解答：解：（Ⅰ）（1）∵b_n+1=1+

bn

an

，∴a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

=

bn+1

1+( bn an )2

．
∴

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

．------（3分）
（2）因為

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

，所以(

bn+1

an+1

)2-(

bn

an

)2=1 （n∈N^*）．
∴數列{(

bn

an

)2}是以1 為公差的等差數列．------（2分）
（Ⅱ）∵a_n＞0，b_n＞0，∴

(an+bn)2

2

≤an2+bn2＜(an+bn)2．．
∴1＜a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

≤

2

．（﹡）
設等比數列{a_n}的公比為q，由a_n＞0知q＞0，下面用反證法證明q=1
若q＞1則a₁=

a2

q

＜a1≤

2

，∴當n＞log_q

2

a1

時，a_n+1=a₁qⁿ＞

2

，與（﹡）矛盾．
若0＜q＜1則a1=

a2

q

＞a2＞1，∴當n＞log_q

1

a1

時，a_n+1=a₁qⁿ＜1，與（﹡）矛盾．
∴綜上所述，q=1．∴a_n=a₁，n∈N^*，∴1＜a1≤

2

．
又∵b_n+1=

2

×

bn

an

=

2

×

bn

a1

=b_n，n∈N^*，∴{b_n}是公比是

2

a1

的等比數列．
若a₁≠

2

，則

2

a1

＞1，于是b₁＜b₂＜b₃．
又由a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

即a₁=

a1+bn

a 2 1 +b 2 n

，得bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

．
∴b₁、b₂、b₃中至少有兩項相同，與b₁＜b₂＜b₃矛盾．∴a₁=

2

．
∴b_n=

2 ±( 2 )2• 2-( 2 )2

( 2 )2-1

=

2

．
∴a₁=b₂=

2

．------（5分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，數列與不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．