Question

已知圓C₁的方程為(x+1)²+y²=16，圓C₂的方程為（x-1）²+y²=4，動圓P經過圓C₂的圓心且與圓C₁相內切.

（1）求動圓P的圓心的軌跡C的方程；

（2）設M、N是（1）中的軌跡C上的兩點，若+2=3，其中O是坐標原點，求直線MN的方程.

Answer 1

解：（1）根據已知，動圓P的半徑小于⊙C₁的半徑，∴|PC₁|+|PC₂|=4＞|C₁C₂|.?

由橢圓的定義知點P的軌跡C是以C₁（-1，0）、C₂（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓.

?

∴P的軌跡C的方程為=1.                                                                        ?

（2）設M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂),?

∵M、N是C上兩點，?

∴3x₁²+4y₁²=12,                                                                                         ①?

3x₂²+4y₂²=12.                                                                                            ②?

又+2=3，∴x₁+2x₂=-3,                                                          ③?

y₁+2y₂=0.                                                                                                   ④　?

由①②③④，得x₂=-,y₂=±.?

∴直線MN的斜率k===-y₂.                                                         ?

當y₂=時，k=-,直線MN的方程為y=-(x+1);?

當y₂=-時，k=,直線MN的方程為y=(x+1),

∴直線MN的方程y=±(x+1).