Question

已知：長方體，，為對角線的中點，過的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是　　　     　．

Answer 1

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解析試題分析：如圖所示．

∵O為對角線AC₁的中點，∴O（1，2，2）．以下分類討論：根據長方體的對稱性和數量積的性質：取P點時只要取頂點和每個表面的中心即可．
①當點MN在上下兩個面時．取P（0，0，0），設N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．則M（2-x，4-y，4）．∴=x（2-x）+y（4-y）=-[（x-1）²+（y-2）²]+5，此時可得：的取值范圍是[0，5]．
取點P（1，0，2），=（1-x，4-y，-2），=（x-1，y，-2）
則=-（x-1）²+y（4-y）-4=-[（x-1）²+（y-2）²]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴-5≤≤0．
此時可得：的取值范圍是[-5，0]．
綜上可得：的取值范圍是[-5，5]．
②當點MN在左右兩個面時，的取值范圍是[-5，5]．
③當點MN分別上或下兩個面、左或右時，的取值范圍是[-8，8]．
綜上可得：的取值范圍是[-8，8]．
故應填入： [-8，8]．
考點：１．長方體的對稱性；２．數量積的性質．