Question

選修4-5：不等式選講：
設正有理數x是

2

的一個近似值，令y=1+

1

1+x

．
（Ⅰ）若x＞

2

，求證：y＜

2

；
（Ⅱ）比較y與x哪一個更接近于

2

？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用作差法，再因式分解，確定其符號，即可得到結論；
（Ⅱ）利用作差法，判斷|y-

2

|-|x-

2

|＜0，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：∵y-

2

=1+

1

1+x

-

2

=

(x- 2 )(1- 2 )

1+x

∵x＞

2

，∴

(x- 2 )(1- 2 )

1+x

＜0
∴y＜

2

；
（Ⅱ）解：|y-

2

|-|x-

2

|=|x-

2

|×

2 -2-x

1+x

∵

2

-2＜0，x＞0
∴

2 -2-x

1+x

＜0
∵|x-

2

|＞0
∴|y-

2

|-|x-

2

|＜0
∴|y-

2

|＜|x-

2

|
∴y比x更接近于

2

．

點評：本題考查不等式的證明，考查作差法的運用，確定差的符號是關鍵．