Question

設函數f(x)=

x2+1

，求證：函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數．

Answer 1

分析：利用函數單調性的定義證明該函數的單調性是解決本題的關鍵．任取在區間[0，+∞）上兩個自變量，比較相應的函數值大小關系，得出結論．

解答：證明：?x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +1

-

x 2 2 +1

=

( x 2 1 +1)-( x 2 2 +1)

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

=

(x1+x2) (x   1 - x   2 )

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

，分母大于零，
由于0＜x₁＜x₂，故x_1⁺x_2＞0，x_1^-x₂＜0，故分子小于零，
因此f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數．

點評：本題考查函數單調性的證明方法，考查函數單調性的定義，考查作差法比較大小等知識，考查學生的等價轉化思想，分子有理化的方法，屬于基本題型．