Question

（1）設a，b＞0，且2a+b=1，設T=2

ab

-a2-b2，則當a=

1

3

且b=

1

3

時，T_max=

4

9

．
（2）設a，b＞0，且2a+b=1，設T=2

ab

-4a2-b2，則當a=

1

4

且b=

1

2

時，T_max=

2

2

-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由題設中代數式的形式可以判斷出，當2

ab?

最大，而a²+b²取最小值時，T可取到最大值，由基本不等式即可求出最大值；
（2）由題設中代數式的形式可以判斷出，當2

ab?

最大，而4a²+b²取最小值時，T可取到最大值，由基本不等式即可求出最大值；

解答：解：（1）由題意a，b＞0，且2a+b=1，
由于2

ab?

≤a+b，a²+b²≥2ab，當a=b時等號成立，
又2a+b=1，故有a=b=

1

3

時等號成立，
所以T_max=

4

9

故答案為

1

3

，

1

3

，

4

9

（2）考察代數式T=2

ab

-4a2-b2，4a²+b²≥4ab，等號當且僅當2a=b時成立，
此時有2

ab?

=

2

×

2ab?

≤

2

×

2a+b

2

，等號成立的條件是2a=b
又2a+b=1，故有2a=b=

1

2

時T=2

ab

-4a2-b2取到最大值
最大值為

2

2

-

1

2

，此時a=

1

4

，b=

1

2

故答案為

1

4

，

1

2

，

2

2

-

1

2

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本不等式求最值的規則，一正，二定，三相等，解答本題的難點尋求等號成立的條件，本題易因為找不到等號成立的條件致使無法下手，注意總結基本不等式求最值時規律．