Question

矩形ABCD中，AB=20，AD=10

3

，H是AB中點，E，F分別在邊BC和AD上運動，∠EHB=?，∠FHE是直角，
（1）將△EFH的周長L表示成?的函數，并寫出定義域
（2）若sinθ+cosθ=

2

，求L
（3）當取何值時，L最長，求出L的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的定義，分別求出FH，EH，EF，進而求得周長及定義域．
（2）利用sinθ+cosθ=

2

，直接帶入即可求L．
（3）設sinθ+cosθ=t，代入L的解析式中，利用θ的范圍判斷出t的范圍，進而求得L的最大值．

解答：解：（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中點，
∴AH=FHsinθ=1，FH=

10

sinθ

，同理EH=

10

cosθ

，EF=

( 10 sinθ )2+( 10 cosθ )2

=

10

sinθcosθ

∴L=FH+EH+EF=

10

sinθ

+

10

cosθ

+

10

sinθcosθ

=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，當F與D重合時，θ取到最小值

π

6

，
當E與C重合時，θ取到最大值

π

3

，
∴θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]；
（2）若sinθ+cosθ=

2

，則平方得1+2sinθcosθ=2，
即sinθcosθ=

1

2

，
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=

10( 2 +1)

1 2

=20（

2

+1）．
（3）令sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ=

t2-1

2

，t=

2

sin（θ+

π

4

）
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=

10(t+1)

t2-1 2

=

20(t+1)

(t+1)(t-1)

=

20

t-1

∵θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴θ+

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[

6 + 2

4

，

2

]，
∵L=

20

t-1

在[

6 + 2

4

，

2

]上單調遞減，
∴當t=

6 + 2

4

，即θ=

π

6

時，函數L的最大值為

20(3+ 3 )

3

=20(

3

+1)．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．涉及了通過三角函數的數學模型解決實際問題的問題．綜合性較強，難度較大．