Question

函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[a，b]⊆D，使得函數f（x）滿足：
（1）f（x）在[a，b]內是單調函數；
（2）f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區間[a，b]為y=f（x）的“美麗區間”．
下列函數中存在“美麗區間”的是

①③④

 （只需填符合題意的函數序號）．
①f（x）=x²（x≥0）；   ②f（x）=e^x（x∈R）； ③f（x）=

1

x

(x＞0)；     ④f（x）=

4x

x2+1

(x≥0)．

Answer 1

分析：根據函數中存在“美麗區間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

，對四個函數分別研究，從而確定存在“美麗區間”的函數．

解答：解：①．若f（x）=x²（x≥0），若存在“美麗區間”[a，b]，
則此時函數單調遞增，則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

a2=2a b2=2b

，∴

a=0 b=2

，
∴f（x）=x²（x≥0）存在“美麗區間”[0，2]，∴①正確．
②，若f（x）=e^x（x∈R），若存在“美麗區間”[a，b]，
則此時函數單調遞增，則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

ea=2a eb=2b

，
即a，b是方程e^x=2x的兩個不等的實根，
構建函數g（x）=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴函數在（-∞，ln2）上單調減，在（ln2，+∞）上單調增，
∴函數在x=ln2處取得極小值，且為最小值．
∵g（ln2）=2-ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e^x-2x=0無解，故函數不存在“美麗區間”，∴②不正確；
③，∵f（x）=

1

x

，在（0，+∞）上是減函數，若存在“美麗區間”[a，b]，
則

f(a)=2b f(b)=2a

，得

1 a =2b 1 b =2a

，
∴滿足ab=

1

2

的區間[a，b]都是“美麗區間”，故③正確；
④．若函數f（x）=

4x

x2+1

（x≥0），
f′（x）=

4(x2+1)-4x•2x

(x2+1)2

=

4(1-x)(x+1)

(x2+1)2

，
若存在“美麗區間”[a，b]⊆[0，1]，
則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，
∴a=0，b=1，
∴存在“美麗區間”[0，1]，∴④正確．
故答案是①③④．

點評：本題主要考查了與函數的性質有關的新定義問題，涉及知識點較多，綜合性強，難度較大．