Question

已知

m

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

n

=(cosx，-y)，滿足

m

•

n

=0．
（1）將y表示為x的函數f（x），并求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C對應的邊長，若f(

A

2

)=3，且a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用數量積運算、倍角公式、兩角和的正弦公式、正弦函數的圖象與性質即可得出；
（2）利用正弦函數的單調性可得A，再利用余弦定理和基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（1）由

m

•

n

=0得2cos2x+2

3

sinxcosx-y=0，
即y=2cos2x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1，
其最小正周期為π，單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，
（2）∵f(

A

2

)=3，∴2sin(2x+

π

6

)+1=3，∴sin(A+

π

6

)=1，∴A+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）．
∵A為三角形內角，∴A=

π

3

．
∵a2=b2+c2-2bccos

π

3

，
∴4=（b+c）²-3bc，
∵bc≤

(b+c)2

4

，∴4≥(b+c)2-

(b+c)2

4

，（b+c）²≤16，
∴b+c≤4．
又b+c＞2，∴b+c的取值范圍為（2，4]．

點評：熟練掌握數量積運算、倍角公式、兩角和的正弦公式、正弦函數的圖象與性質、余弦定理和基本不等式的性質是解題的關鍵．