Question

已知M是以點C為圓心的圓（x+1）²+y²=8上的動點，定點D（1，0）．點P在DM上，點N在CM上，且滿足．動點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）線段AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由．知NP為DM的垂直平分線，所以|ND|=|NM|，動點N的軌跡是以點C（-1，0），D（1，0）為焦點的長軸為的橢圓．由此能求出軌跡E的方程．
（Ⅱ）線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設直線AB的方程為y=kx+b，由，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根與系數的關系進行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵=0．
∴NP為DM的垂直平分線，∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=2，∴|CN|+|DN|=2＞2．（3分）
∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），D（1，0）為焦點的長軸為2的橢圓．
∴軌跡E的方程為=1．（5分）
（Ⅱ）∵線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設直線AB的方程為y=kx+b，
由，
消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-，x₁x₂=（8分）
∵|AB|=2，∴=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴，
∴，（11分）
∵1+k²≥1∴＜1． （12分）
又點O到直線AB的距離h=，
∴S=|AB|•h=h
∴S²=h²=2b²（1-b²）=（13分）
∴0＜S²≤，∴0＜S≤．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．