Question

設集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x²－(2m＋1)x＋2m<0}.

(1)當m<時，化簡集合B；

(2)若A∪B＝A，求實數m的取值范圍；

(3)若∩B中只有一個整數，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【解析】∵不等式x²－(2m＋1)x＋2m<0⇔(x－1)(x－2m)<0.

(1)當m<時，2m<1，∴集合B＝{x|2m<x<1}.

(2)若A∪B＝A，則B⊆A，∵A＝{x|－1≤x≤2}，

①當m<時，B＝{x|2m<x<1}，此時－1≤2m<1⇒－≤m<；

②當m＝時，B＝，有B⊆A成立；

③當m>時，B＝{x|1<x<2m}，此時1<2m≤2⇒<m≤1；

綜上所述，所求m的取值范圍是－≤m≤1.

(3)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴_RA＝{x|x<－1或x>2}，

①當m<時，B＝{x|2m<x<1}，若_RA∩B中只有一個整數，則－3≤2m<－2⇒－≤m<－1；

②當m＝時，不符合題意；

③當m>時，B＝{x|1<x<2m}，若_RA∩B中只有一個整數，則3<2m≤4，∴<m≤2.

綜上知，m的取值范圍是－≤m<－1或<m≤2.