Question

設橢圓M：＝1(a>)的右焦點為F1，直線l：x＝與x軸交于點A，若＝2 (其中O為坐標原點)．

(1)求橢圓M的方程；

(2)設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2＋(y－2)2＝1的任意一條直徑(E，F為直徑的兩個端點)，求·的最大值．

 

Answer 1

（1）＝1（2）11

【解析】(1)由題設知，A，F1，

由＝2，得＝2，

解得a2＝6.所以橢圓M的方程為M：＝1.

(2)設圓N：x2＋(y－1)2＝1的圓心為N，

則·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1.

從而求·的最大值轉化為求2的最大值．

因為P是橢圓M上的任意一點，設P(x0，y0)，

所以＝1，

即＝6－3，因為點N (0,2)，

所以2＝＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.

因為y0∈[－，]，所以當y0＝－1時，2取得最大值12.所以·的最大值為11.