Question

已知函數f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

，若對于任意實數x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊邊長的三角形，則實數k的取值范圍是

-

1

2

≤k≤4

．

Answer 1

分析：因對任意實數x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，則f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立，將f（x）解析式用分離常數法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由k-1的符號決定，故分為三類討論，根據函數的單調性求出函數的值域，然后討論k轉化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進而求出實數k 的取值范圍．

解答：解：因對任意實數x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
f（x）=

4x+2x+1+(k-1)2x

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2^x+

1

2x

+1≥3，則y=1+

k-1

t

（t≥3），
當k-1＞0，即k＞1時，該函數在[3，+∞）上單調遞減，則y∈（1，

k+2

3

]，
當k-1=0，即k=1時，y∈{1}，
當k-1＜0，即k＜1時，該函數在[3，+∞）上單調遞增，y∈[

k+2

3

，1），
當k＞1時，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，故

k+2

3

≤2，∴1＜k≤4；
當k=1時，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當k＜1時，∵

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，故

2k+4

3

≥1，∴-

1

2

≤k＜1；
綜上所述：-

1

2

≤k≤4．
故答案為：-

1

2

≤k≤4

點評：本題主要考查了求參數的取值范圍，以及構成三角形的條件和利用函數的單調性求函數的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于難題．