Question

已知橢圓的左、右焦點分別為，且經過定點，為橢圓上的動點，以點為圓心，為半徑作圓.
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓與軸有兩個不同交點，求點橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓，使得圓與圓恒相切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

19．（本小題滿分14分）
解：（1）由橢圓定義得，         ……………………………1分
即， ………………………2分
∴，又，∴.            ……………………………3分
故橢圓的方程為                     …………………………….4分
（2）圓心到軸距離，圓的半徑，
若圓與軸有兩個不同交點，則有，即，
化簡得.                         ……………………………6分
點在橢圓上，∴，代入以上不等式得：
，解得：.          ……………………………8分
又，∴，即點橫坐標的取值范圍是.……9分
（3）存在定圓與圓恒相切，
其中定圓的圓心為橢圓的左焦點，半徑為橢圓的長軸長4.    …………12分
∵由橢圓定義知，，即，
∴圓與圓恒內切.                           ……………………………14分

略