Question

設f(x)＝(4^x＋4^－x)－a(2^x＋2^－x)＋a＋2(a為常數)．

(1)a＝－2時，求f(x)的最小值；

(2)求所有使f(x)的值域為[－1，＋∞)的a值．

Answer 1

解析　(1)設t＝2^x＋2^－x，則t≥2，且y＝t²＋2t－2.

∴y≥6，故所求的最小值為6.

(2)令t＝2^x＋2^－x，則t≥2，且y＝t²－at＋a.

當≤2，即a≤4時，y_min＝4－a.

當>2，即a>4時，y_min＝a－.

若4－a＝－1，則a＝5(舍)；若a－＝－1，

則a＝2＋2或a＝2－2(舍)．

故所求的a的值為2＋2.

講評　換元法是中學數學中的重要方法，通過換元可使繁雜的式子簡單化，從而便于分析問題解決問題．