Question

（2010•北京模擬）在△ABC中，已知∠A=

π

3

，邊BC=2

3

，設∠B=x，△ABC的周長為y．
（Ⅰ）若x=

π

4

，求邊AC的長；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的解析式，并寫出它的定義域；
（Ⅲ）求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根據正弦定理可以直接得出結果．
（II）由內角A=

π

3

，邊BC=2

3

，設內角B=x，周長為y，我們結合三角形的性質，△ABC的內角和A+B+C=π，△ABC的周長y=AB+BC+AC，我們可以結合正弦定理求出函數的解析式，及自變量的取值范圍．
（III）要求三角函數的值域，我們要利用輔助角公式，將函數的解析式，化為正弦型函數的形式，再根據正弦型函數的進行求解．

解答：解：（I）A=

π

3

，B=

π

4

，BC=2

3

，由正弦定理，得：

AC

sin π 4

=

BC

sin π 3

，
∴AC=

BC•sin π 4

sin π 3

=

2 3 × 2 2

3 2

=2

2

（3分）
（II）△ABC的內角和A+B+C=π，且A=

π

3

，B=x，C＞0，∴C=

2π

3

-x＞0，0＜x＜

2π

3

．（4分）
由正弦定理，知

2 3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，即

b=4sinx c=4sin( 2π 3 -x)

所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)..（6分）（沒寫定義域或寫錯扣1分）
（III）由（II）知，y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)
=6sinx+2

3

cosx+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)   （8分）
由正弦函數的圖象知，當

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

時，有

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1．
于是，4

3

＜4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

≤6

3

，
所以，函數y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)的值域是(4

3

，6

3

]  （10分）

點評：函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，值域由A確定，周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．