Question

（2012•韶關一模）已知函數f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f′（x）．
（1）當a=

1

3

時，若不等式f′（x）＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數y=f′（x）在（-1，0）內至少存在一個零點；
（3）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關于x的方程f（x）=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=

1

3

時，f′（x）=x²+2bx+b-

1

3

，依題意　f′（x）＞-

1

3

即x²+2bx+b＞0恒成立，由二次函數的性質，分類討論可得答案；
（2）因為f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），所以f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′（-

1

3

）=

b-2a

3

．再由a，b不同時為零，所以f′（-

1

3

）•f′（-1）＜0，故結論成立；
（3）將“關于x的方程f（x）=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根”轉化為“函數f（x）與y=-

1

4

t的交點”問題解決，先求函數f（x）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數，可解得b=0，所以f（x）=ax³-ax，再由“f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0”解得a，從而得到f（x），再求導，由f′（x）=3（x-

3

3

）（x+

3

3

），知f（x（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是増函數，在[-

3

3

，

3

3

]上是減函數，明確函數的變化規律，再研究兩個函數的相對位置求解．

解答：解：（1）當a=

1

3

時，f′（x）=x²+2bx+b-

1

3

，…（1分）
依題意　f′（x）＞-

1

3

　
即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1　
所以b的取值范圍是（0，1）…（4分）
（2）因為f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′（-

1

3

）=

b-2a

3

．
由于a，b不同時為零，所以f′（-

1

3

）•f′（-1）＜0，故結論成立．
（3）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因為f′（x）=3（x-

3

3

）（x+

3

3

）
所以f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是増函數，
在[-

3

3

，

3

3

]上是減函數，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，①當-1＜t≤-

3

3

時，f（t）≥-

1

4

t≥0，即t³-t≥-

t

4

，解得-

3

2

≤t≤0或t≥-

3

2

；
②當-

3

3

＜t＜0時，f（t）＞-

1

4

t≥0，解得-

3

3

＜t＜0；
③當t=0時，顯然不成立；
④當0＜t≤

3

3

時，f（t）≤-

1

4

t＜0，即t3-t≤-

t

4

，解得0＜t≤

3

3

；
⑤當t＞

3

3

時，f（t）＜-

1

4

t＜0，故

3

3

＜t＜

3

2

．
⑥當t＞1時，-

t

4

=f（

3

3

）∴t=

8 3

9

．
所以，所求t的取值范圍是-

3

2

≤t＜0或0＜t＜

3

2

或t=

8 3

9

．

點評：本題主要考查利用導數法研究函數的單調性，主要涉及了函數的奇偶性，函數的圖象和性質以及方程的根轉化為函數圖象的交點解決等問題．