Question

 如圖，已知橢圓過點（1，），離心率為 ，左右焦點分別為．點為直線：上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和為坐標原點．

    （Ⅰ） 求橢圓的標準方程；

   （Ⅱ）設直線、斜率分別為．

證明：

（ⅱ）問直線上是否存在一點，

使直線的斜率

滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的基本概念和性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查數形結合思想、分類討論思想以及探求解決新問題的能力。

    【解析】（I）解：因為橢圓過點（1，），e=，

    所以，．

    又，

    所以

    故所求橢圓方程為 ．

   （II）（i）設點P，因為點P不在x軸上，

所以，又

    所以

 

因此結論成立

   （ⅱ）解：設，，，．

   

   

   

    故

   

   

    若，須有=0或=1．

    ① 當=0時，結合（ⅰ）的結論，可得=－2，所以解得點P的坐標為（0，2）；

    ② 當=1時，結合（ⅰ）的結論，可得=3或=－1（此時=－1，不滿足≠，舍去 ），此時直線CD的方程為，聯立方程得，

    因此 ．

    綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為，（，）。