Question

設函數f（x）=e^2x-2ax-2．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若a=1，k為整數，且當x＞0時，（2x-k）f^′（x）+4x+2＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）分a≤0，a＞0兩種情況解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0；
（2）當a=1、x＞0時，不等式等價于：k＜

2x+1

e2x-1

+2x(x＞0)，令g（x）=

2x+1

e2x-1

+2x，問題等價于k＜g（x）_min，利用導數即可求得，注意k為整數這一條件；

解答：解：（1）f′（x）=2e^2x-2a=2（e^2x-a），
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在R上為增函數；
若a＞0，由f′（x）=0得x=

1

2

lna，
則當x∈（-∞，

1

2

lna）時，f′（x）＜0，x∈（

1

2

lna，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，

1

2

lna）上為減函數，在（

1

2

lna，+∞）上為增函數；
（2）由于a=1，所以，（2x-k）f^′′（x）+4x+2=（2x-k）（2e^2x-2）+4x+2，
故當x＞0時，不等式等價于：k＜

2x+1

e2x-1

+2x(x＞0)，
令g（x）=

2x+1

e2x-1

+2x，則g′（x）=

-4xe2x-2

(e2x-1)2

+2=

2e2x(e2x-2x-2)

(e2x-1)2

，
令h（x）=e^2x-2x-2，則h′（x）=2e^2x-2＞0，h（x）在（0，+∞）上為增函數，
又h（

1

2

）＜0，h（1）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上有唯一零點，
故g′（x）在（0，+∞）上有唯一零點，設此零點為α，α∈（

1

2

，1），
則x∈（0，α）時，g′（x）＜0，x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上有最小值g（α），由g′（α）=0得e^2α=2α+2，g（α）=2α+1∈（2，3），
由k＜g（α）得k的最大值為2．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區間上的最值，考查函數恒成立問題，轉化為函數最值是解決恒成立問題的常用方法，導數是解決函數問題的強有力的工具．