Question

已知對任意的實數m，直線x+y+m=0都不與曲線f(x)=x³-3ax(a∈R)相切，
(Ⅰ)求實數a的取值范圍；
(Ⅱ)當x∈[-1，1]時，函數y=f(x)的圖象上是否存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于，試證明你的結論。

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=3x²-3a∈[-3a，+∞)，
∵對任意m∈R，直線x+y+m=0都不與y=f(x)相切，
∴-1[-3a，+∞)，-1＜-3a，實數a的取值范圍是；
(Ⅱ)存在，
證明：問題等價于當x∈[-1，1]時，，
設g(x)=|f(x)|，則g(x)在x∈[-1，1]上是偶函數，
故只要證明當x∈[0，1]時，，
①當a≤0時，f′(x)≥0，f(x)在[0，1]上單調遞增，且f(0)=0，
g(x)=f(x)，g(x)_max=f(1)=1-3a＞1＞；
②當時，f′(x)=3x²-3a=，
列表：

f(x)在上遞減，在上遞增，
注意到，且，
∴時，g(x)=-f(x)，時，g(x)=f(x)，
∴，
由，解得，此時成立，
∴，
由，解得，此時成立．
∴，
∴在x∈[-1，1]上至少存在一個x₀，使得成立。