Question

設函數f(x)=

mx+2

x-1

的圖象關于直線y=x對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷并證明函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性；
（3）若直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點，且f(|t-2|+

3

2

)＜2a+f(4a)，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

mx+2

x-1

的圖象關于直線y=x對稱，知道原函數與反函數解析式一樣，從而求出m的值；
（2）利用定義法證明，函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性；
（3）根據f（x）的值域求其a的值，再由第二問函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減，求出t的范圍；

解答：解：（1）∵函數f(x)=

mx+2

x-1

的圖象關于直線y=x對稱
∴f-1(x)=

x+2

x-m

∴m=1（5分）
（2）函數f(x)=

x+2

x-1

在區間（1，+∞）上單調遞減     （6分）
設x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂則：f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0（8分）
∴f(x)=1+

3

x-1

在（1，+∞）上的單調遞減    （10分）
（3）∵函數f(x)=

x+2

x-1

=1+

3

x-1

∴函數f(x)=

x+2

x-1

的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）
∵直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點
∴y=1，
得a=1，（12分）
又f(|t-2|+

3

2

)＜4=f(2)，
∵f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減，
∴|t-2|+

3

2

＞2
∴t＜

3

2

或t＞

5

2

．

點評：此題主要考查反函數的定義，函數單調性的證明及其應用，第三問求a的值，是利用函數f（x）的值域來求，想法比較新穎，是一道好題．