Question

已知定義在（1，+∞）上的函數f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）
（Ⅰ）若f（2t-3）＞f（4-t），求實數t的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）≤4x對（1，+∞）上的任意x都成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數在（1，+∞）上為增函數，
則f（2t-3）＞f（4-t）?

2t-3＞4-t 2t-3＞1 4-t＞1

，解出即可；
（2）由于f（x）≤4x對（1，+∞）上的任意x都成立，就轉化為求函數f（x）在（1，+∞）上的最小值大于等于

1

a

的問題，可求a的取值范圍；
（3）先將函數化簡，再對a進行討論，從而利于基本不等式研究函數的最值，進而得解．

解答：解：（1）由于定義在（1，+∞）上的函數f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）滿足f（2t-3）＞f（4-t），
則

2t-3＞4-t 2t-3＞1 4-t＞1

解得t∈(

7

3

，3)
（2）由f（x）≤4x得

1

a

≤4x+

1

x-1

，
∴

1

a

≤4(x-1)+

1

x-1

+4∵4(x-1)+

1

x-1

≥4(x=

3

2

時取等號)
∴

1

a

≤8∵a＞0∴a≥

1

8

（3）由于f（x）在（1，+∞）單調遞增，∴

1 a - 1 m-1 =m 1 a - 1 n-1 =n

∴m，n為方程

1

a

-

1

x-1

=x的兩個大于1的不等實根
令x-1=u（u＞0）
由y=

1

a

-1與y=u+

1

u

(u＞0)的圖象可得

1

a

-1＞2∴0＜a＜

1

3

點評：求二次函數的最值問題，關于給定解析式的二次函數在不固定閉區間上的最值問題，一般是根據對稱軸和閉區間的位置關系來進行分類討論，如軸在區間左邊，軸在區間右邊，軸在區間中間，最后在綜合歸納得出所需結論