Question

（本題滿分15分）
已知，且（為自然對數的底數）。
（1）求與的關系；
（2）若在其定義域內為增函數，求的取值范圍；
（3）證明：
(提示：需要時可利用恒等式：)

Answer 1

解：（1）由題意

（2）由（1）知：（x>0）

令h(x)=x²－2x+.要使g(x)在（0，+∞）為增函數，只需h(x)在（0，+∞）滿足：
h(x)≥0恒成立.
即x²－2x+≥0
上恒成立
又
所以
（3）證明：證：lnx－x+1≤0  (x>0)，
設.
當x∈（0，1）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調遞增函數；
當x∈（1，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調遞減函數；
∴x=1為k(x)的極大值點，
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.
②由①知lnx≤x－1,又x>0，

略