Question

設點E、F分別是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點，△ABF是正三角形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設橢圓C的焦距為2，過點P（3，0）且不與坐標軸重合的直線交橢圓C于M、N兩點，點M關于x軸的對稱點為M'，求證：直線M'N過x軸一定點，并求此定點坐標．

Answer 1

解：（1）設橢圓的半焦距為c，則 直線AB的方程為x=-c，將x=-c代入橢圓方程=1，注意到c²=a²-b²，解得y=±，所以|AB|=，|EF|=2c
∵△ABF是正三角形，
∴
∴
∵，b²=a²-c²，
∴e²+2e-=0
∴或（舍去）
故所求橢圓的離心率為
（2）由（1）知，a²=3c²，b²=2c²，∴橢圓的方程為，顯然，直線l的斜率不為0
因此，可設直線MN的方程為x=my+3代入橢圓方程可得（2m²+3）y²+12my+12=0
∵直線交橢圓C于M、N兩點，∴△=48（m²-3）＞0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M′（x₁，-y₁），
∴y₁+y₂=-，y₁y₂=①
設直線M'N與x軸的交點為Q（t，0）
∵k_QM=k_QN，∴=-
∴t=②
∵x₁=my₁+3，x₂=my₂+3③
將①③代入②得t==3-2=1
∴直線M'N過x軸一定點Q（1，0）．
分析：（1）設橢圓的半焦距為c，則 直線AB的方程為x=-c，將x=-c代入橢圓方程，求得|AB|=，|EF|=2c，根據△ABF是正三角形，可得，從而可求橢圓的離心率；
（2）確定橢圓的方程為，設直線MN的方程為x=my+3代入橢圓方程，利用韋達定理及k_QM=k_QN，即可求導直線M'N過x軸一定點．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，利用直線與橢圓聯立，結合韋達定理求解．