Question

橢圓與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點，且（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：等于定值；
（Ⅱ）當橢圓的離心率時，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：
消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
△=4a⁴-4（a²+b²）a²（1-b²）＞0，a²+b²＞1
設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則，
由，x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0
化簡得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
則
即a²+b²=2a²b²，故
（Ⅱ）解：由
化簡得
由得，
即
故橢圓的長軸長的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）聯立方程組，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由△＞0推出a²+b²＞1，設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能夠推導出．
（Ⅱ）由由、題高級條件能夠推導出，再由得，由此能夠推陳出新導出長軸長的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的性質和應用，具有一定的難度，解題時要細心解答，避免出現不必要的錯誤．