Question

已知定義在R上的函數f（x） 滿足條件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）對非零實數x，都有2f（x）+f（

1

x

）=2x+

1

x

+3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=

f(x)2-2x

（x≥0）直線 y=

2

n-x分別與函數f（x） 的反函數 交于A，B兩點
（其中n∈N*），設 a_n=|A_nB_n|，s_n為數列a_n 的前n項和．求證：當n≥2 時，總有 S_n²＞2（

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

）成立．

Answer 1

分析：（1）令解析式中的x用

1

x

代入，得到一個方程組，消去f（

1

x

）可求出函數的解析式；
（2）先求出A_n的坐標，依題意得B_n與A_n關于y=x對稱求出B_n的坐標，求出a_n，從而求出S_n，將s_n²-s_n-1²進行累加可求證得結論．

解答：解：（1）由②知x≠0時

2f(x)+f( 1 x )=2x+ 1 x +3 2f(x)+f(x)= 2 x +x+3

⇒

f(x)=x+1(x≠0) f(0)=1

⇒f（x）=x+1（4分）
（2）g（x）=

x2+1

由

y= x2+1 y= 2 n-x

⇒A_n（

2n2-1

2 2 n

，

2n2+1

2 2 n

）
依題意得B_n與A_n關于y=x對稱⇒B_n（

2n2+1

2 2 n

，

2n2+1

2 2 n

）=an=

1

n

（6分）
⇒s_n=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

⇒s_n-s_n-1=

1

n

=sn-12=s_n²-

2sn

n

+

1

n2

（8分）
⇒s_n²-s_n-1²=

2sn

n

-

1

n2

（n≥2）累加得s_n²-s₁²=2（

s2

2

+

s3

3

++

sn

n

）-（

1

22

+

1

32

++

1

n2

）
⇒s_n²=2（

s2

2

+

s3

3

++

sn

n

）+1-（

1

22

+

1

32

++

1

n2

）（10分）
又1-（

1

22

+

1

32

++

1

n2

）＞1-（

1

1×2

+

1

2×3

++

1

(n-1)n

）=

1

n

＞0
∴s_n²＞2(

s2

2

+

s3

3

+..+

sn

n

)（12分）

點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及數列的通項公式和求和，同時考查了利用累加法證明不等式，屬于難題．