Question

（2012•遼寧）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E．證明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，進而得到結論；
（Ⅱ）由AD與⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，再結合∠ADE=∠BDA，得到△EAD∽△ABD，最后結合第一問的結論即可得到 AC=AE成立．

解答：證明：（Ⅰ）由AC與⊙O′相切于A，
得∠CAB=∠ADB，
同理∠ACB=∠DAB，
所以△ACB∽△DAB，
從而

AC

AD

=

AB

BD

，
即 AC•BD=AD•AB．
（Ⅱ）由AD與⊙O相切于A，
得∠AED=∠BDA，
又∠ADE=∠BDA，
得△EAD∽△ABD，
從而

AE

AB

=

AD

BD

，即AE•BD=AD•AB．
結合（Ⅰ）的結論，AC=AE．

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、相似三角形的判定及切線性質的應用．屬于基礎題．