Question

12、奇函數f（x）滿足對任意x∈R都有f（x+2）=-f（x）成立，且f（1）=8，則f（2008）+f（2009）+f（2010）的值為（　　）

A、2

B、4

C、6

D、8

Answer 1

分析：根據對任意x∈R都有f（x+2）=-f（x）成立，得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x），求出函數f（x）周期為4，要求f（2008）+f（2009）+f（2010），即要求f（0）+f（1）+f（2）的值，而由函數f（x）是R上的奇函數，可得f（0），根據f（x+2）=-f（x），令x=0，可求得f（2）的值，從而求得結論．

解答：解：∵對任意x∈R都有f（x+2）=-f（x）成立，
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數f（x）的周期為4，
∵函數f（x）是R上的奇函數，且f（1）=8，
∴f（0）=0，f（2）=-f（0）=0，
∴f（2008）+f（2009）+f（2010）=f（0）+f（1）+f（2）=8．
故選D．

點評：此題是個中檔題．考查函數的周期性和奇偶性，是道綜合題，其中探討函數的周期性是難點．