Question

已知函數

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；

（Ⅱ）若，討論函數的單調區間；

（Ⅲ）對任意的，恒有，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）若，則，可知函數的增區間為和，減區間為                                  

若，則，可知函數的增區間為；

若，則，可知函數的增區間為和，減區間為

（3）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ），得切線斜率為               2分

據題設，，所以，故有                             3分

所以切線方程為即                          4分

（Ⅱ） 

若，則，可知函數的增區間為和，減區間為                                   8分

若，則，可知函數的增區間為；

若，則，可知函數的增區間為和，減區間為  10分

（Ⅲ）當時，據（Ⅱ）知函數在區間上遞增，在區間上遞減，所以，當時，，故只需，

即

顯然，變形為，即，解得               12分

當時，據（Ⅱ）知函數在區間上遞增，則有

只需，解得.

綜上，正實數的取值范圍是                         14

考點：導數的運用

點評：考查了導數在研究函數中的運用，求解切線方程以及函數單調性，以及函數的最值，屬于中檔題。