Question

觀察下表：

1，

2,3，

4,5,6,7，

8,9,10,11,12,13,14,15，

……

問：(1)此表第n行的第一個數與最后一個數分別是多少？

(2)此表第n行的各個數之和是多少？

(3)2 012是第幾行的第幾個數？

Answer 1

(1)此表第n行的第1個數為2^n－1，第n行共有2^n－1個數，依次構成公差為1的等差數列.

由等差數列的通項公式，此表第n行的最后一個數是2^n－1＋(2^n－1－1)×1＝2ⁿ－1；

(2)由等差數列的求和公式，此表第n行的各個數之和為＝2^2n－2＋2^2n－3－2^n－2，或2^n－1×2^n－1＋×1＝2^2n－2＋2^2n－3－2^n－2.

(3)設2 012在此數表的第n行.

則2^n－1≤2 012≤2ⁿ－1，n∈N_＋，可得n＝11.

故2 012在此數表的第11行.

設2 012在此數表的第11行的第m個數，而第11行的第1個數為2¹⁰，

因此，2 012是第11行的第989個數.