Question

已知α，β，γ成等差數列，且公差為

2π

3

，m為實常數，則sin²（α+m），sin²（β+m），sin²（γ+m）這三個三角函數式的算術平均數為

1

2

．

Answer 1

分析：先利用倍角公式的變形把次數由二次降為一次，再利用和角公式、差角公式來統一角，達到化簡求值的目的．

解答：解：由題意，α=β-

2π

3

，γ=β+

2π

3

，
∴sin²（α+m），sin²（β+m），sin²（γ+m）這三個三角函數式的算術平均數為S=

1

3

[sin2(α+m)+sin2(β+m)+sin2(γ+m)]=

1

3

[sin2(β-

2π

3

+m)+sin2(β+m)+sin2(β+

2π

3

+m)]=

1

3

[

1-cos(2β- 4π 3 +2m)

2

+

1-cos(2β+2m)

2

+

1-cos(2β+ 4π 3 +2m)

2

]=

1

2

-

1

6

[cos(2β+2m-

4π

3

)+cos(2β+2m+

4π

3

)+cos(2β+2m)]=

1

2

-

1

6

[2cos(2β+2m)cos

4π

3

+cos(2β+2m)]=

1

2

-

1

6

[2cos(2β+2m)(-

1

2

)+cos(2β+2m)]=

1

2

．
故答案為：

1

2

點評：本題的綜合性較高，對學生利用三角公式進行三角恒等變換的能力要求較高．對考點的發散思維點撥：新課標中的三角函數的考察要想推陳出新，可以不斷改變考察方式和考察角度．引導、歸納及預測：雖然大綱中對三角函數的要求近年來有所降低，但對知識點的綜合性卻在提高，三角函數部分與其它章節的綜合也在意料之中．解題方法技巧：本題的關鍵是三角函數式的化簡，在化簡時要及時調控變形方向，把握好“角的變化”、“函數名稱的變化”、“運算形式的變化”這三種三角變換的時機．