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已知拋物線=2px(p＞0)上有兩動點A、B及一個定點，F(xiàn)是拋物線的焦點，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列．

(Ⅰ)求證：線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點

(Ⅱ)若|MF|=4，|OQ|=6(O是坐標原點)，求此拋物線的方程；

(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的拋物線，問：A、B兩點的距離為何值時，△AQB的面積最大？試說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)

　　則．

　　依題意：

　　∴線段AB的中點坐標可設(shè)為

　　因

　　∴線段AB的垂直平分線方程為y－t=，即t[x－(＋p)]＋yp=0，

　　故線段AB的垂直平分線過定點Q(＋p，0)．

　　(Ⅱ)曲|MF|=4，|OQ|=6，得，聯(lián)立解得

　　p=4，．∴拋物線的方程為．

　　(Ⅲ)將直線AB的方程y－t=(x－2)代入=8x，得－2ty＋－16=0．

　　依題意是上述方程的兩實根，

　　∴△=＋64＞0，得t∈(－4，4)，

　　

　　∴

　　=

　　又

　　=

　　∴

　　又點Q(6，0)到AB的距離，

　　

　　令，得t=±∈(－4，4)，

　　則當且僅當t=±時，．

　　

　　故當A、B兩點的距離為時，△AQB的面積最大．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過點A（
p
2
，0）的直線與拋物線C交于M，N兩點，且
MA
=2
AN
，過點M，N向直線x=-
p
2
作垂線，垂足分別為P，Q，△MAP，△NAQ的面積分別為記為S1與S2，那么（　　）
A、S1：S2=2：1
B、S1：S2=5：2
C、S1：S2=4：1
D、S1：S2=7：1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題：
①動點M到兩定點A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1），則動點M的軌跡是圓；
②橢圓
x2
2b2
+
y2
b2
=1的離心率是
2
2
；
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離是b；
④已知拋物線y2=2px上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且OA⊥OB（O是坐標原點），則y1y2=-p2．
其中正確命題的序號是
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px的焦點為F，過F的直線交拋物線于A、B兩點．若A、B在拋物線準線l上的投影分別為A′、B′，求∠A′FB′的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：河南省模擬題 題型：單選題

已知拋物線=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值是
[     ]
A．
B．
C．
D．

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