Question

已知函數，
（1）討論函數的單調性；
（2）證明：若，則對于任意有。

Answer 1

（1）a=2時，在上單調增加；時，在上單調減少，在，上單調增加；時，在（1，a-1）上單調減少，在(0,1)，(a-1,+?)上單調增加；                  
（2）證明詳見解析

試題分析：（1）求導，利用導數分類求單調性；（2）先求導，然后求出單間區間，在進一步證明即可.
試題解析：（1）的定義域為，
（i）若，即a=2，則，故在上單調增加。
（ii）若，而，故，則當時，；
當及時，。
故在上單調減少，在，上單調增加。
（iii）若，即， 同理可得在（1，a-1）上單調減少，在(0,1)，(a-1,+?)上單調增加。                  
（2）考慮函數，
則，
由于，故，即在上單調增加，從而當時，
有，即，故；
當時，有。