Question

已知有相同兩焦點F₁、F₂的橢圓

x2

5

+y2=1和雙曲線

x2

3

-y2=1，P是它們的一個交點，則△F₁PF₂的形狀是（　　）

• A、銳角三角形
• B、B直角三角形
• C、鈍有三角形
• D、等腰三角形

Answer 1

分析：由題設中的條件，設兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2

5

，雙曲線的實軸長為2

3

，不妨令P在雙曲線的右支上，根據橢圓和雙曲線的性質以及勾股定理即可得到結論．

解答：解：由題意設兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2

5

，雙曲線的實軸長為2

3

，不
妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2

3

  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

5

  ②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=4
又|F₁F₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
故選B．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長來．