Question

 如圖所示，在長方體中，，，是棱上一點，

（1）若為CC₁的中點，求異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；

（2）是否存在這樣的，使得平面ABM⊥平面A₁B₁M，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）。(2）

【解析】

試題分析：（1）由于C₁D₁∥B₁A₁故根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠MA₁B₁為異面直線A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可．

（Ⅱ）可根據(jù)題中條件設(shè)出點M的坐標(biāo)，然后根據(jù)面面垂直，計算得出A₁B₁⊥BM，BM⊥B₁M然后再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證．

解：（1）∵C₁D₁∥A₁B₁

               ∴∠B₁A₁M即為直線A₁M和C₁D₁所成的角

         ∴。

(2）建立坐標(biāo)系：,,,,

在平面上選擇向量,,設(shè)法向量

由，解得，取，得

在平面上選擇向量,,設(shè)法向量

由，解得，取，得,

由，，解得，所以

考點：本試題主要考查了考察異面直線所成角的定義以及面面垂直的證明，屬常考題型，較難．

點評：解題的關(guān)鍵是要掌握異面直線所成角的定義（即將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角）和面面垂直的判定定理。