Question

已知雙曲線的兩焦點為，為動點，若．

（Ⅰ）求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）若，設直線過點，且與軌跡交于、兩點，直線與交于點．試問：當直線在變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由題意知：，又∵，∴動點必在以為焦點，

長軸長為4的橢圓，∴，又∵，．  

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意，可設直線為：．

①     取得，直線的方程是

直線的方程是交點為    

若，由對稱性可知交點為

若點在同一條直線上，則直線只能為．

②以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上．

事實上，由，得即，

記，則．

設與交于點由得

設與交于點由得

，           

∴，即與重合，

這說明，當變化時，點恒在定直線上．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點為

取得，直線的方程是直線的方程是交點為∴若交點在同一條直線上，則直線只能為．

以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上．

事實上，由，得即，

記，則．

的方程是的方程是

消去得……………………………………   ①

以下用分析法證明時，①式恒成立。

要證明①式恒成立，只需證明

即證即證………………  ②

∵∴②式恒成立．

這說明，當變化時，點恒在定直線上．

解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得即．

記，則．

的方程是的方程是   

由得

即

    ．

這說明，當變化時，點恒在定直線上．