Question

21．（本小題滿分14分）
設是數列的前項和，且是和的等差中項．
（1）求數列的通項公式；
（2）當（均為正整數）時，求和的所有可能的乘積之和；
（3）設，求證：．

Answer 1

,

21．（本小題滿分14分）
(考查等差數列、等比數列、不等式的證明、數列的求和等知識，考查推理論證能力和運算求解能力和化歸轉化數學思想)
解:（1）∵是和的等差中項，
∴，                   ①                   ………分
當時，，解得.
當時，
　　.　②
①－②得   ，
∴ ，
∴ ，
∴   .
∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴   .                                     …………分
（2）由和的所有可能乘積可構成下表：
，，，…，，
，，…，，
，…，，
………………
              ……分
構造如下行列的數表：
，，，…，，
，，，…，，
，，，…，，
………………
，，，… ，，              
設上表第一行的和為，則
.
于是

.
∴ .                    …………分
(3)∵，
∴，         …………分
∴

.
∵，
∴.
即.                                            …………分