Question

重慶市某棚戶區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域是半徑為R的圓面．該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB =" AD" = 4萬米，BC = 6萬米，CD = 2萬米，

（1）請計算原棚戶區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；
（2）因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調整，為了提高棚戶區改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P，使得棚戶區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

（1）S四邊形ABCD =（萬平方米）
（萬米）
（２）最大面積為萬平方米

解：(1) ，由余弦定理得：

∴
∵
∴，
S四邊形ABCD =（萬平方米）

∴
由正弦定理得：（萬米）（萬米）    6分
(2) S四邊形APCD = ，又
設AP = x，CP = y，則
由余弦定理得：

∴，當且僅當x = y時取“＝”
∴ S四邊形APCD =（萬平方米）
∴作AC的垂直平分線與圓弧ABC的交點即為點P，
最大面積為萬平方米  12分