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已知橢圓的離心率為，且經過點．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)如果過點的直線與橢圓交于兩點（點與點不重合），

①求的值；

②當為等腰直角三角形時，求直線的方程．

 

【答案】

(Ⅰ)橢圓的方程為；(Ⅱ) ①；②直線的方程為或或．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由與離心率為，可求出方程；(Ⅱ) ①要求的值，可設直線的方程，采用設而不求的方法求得；②由①知：，如果為等腰直角三角形，設的中點為，則，利用可求出的值，從而求出直線的方程為．

試題解析：(Ⅰ)因為橢圓經過點，，因為，解得，

所以橢圓的方程為．

(Ⅱ) ①若過點的直線的斜率不存在，此時兩點中有一個點與點重合，不滿足題目條件．

所以直線的斜率存在，設其斜率為，則的方程為，把代入橢圓方程得，設，則，，，

因為，所以

，

②由①知：，如果為等腰直角三角形，設的中點為，則，且，

若，則，顯然滿足，此時直線的方程為；

若，則，解得，所以直線的方程為，即或．

綜上所述：直線的方程為或或．

考點：1、求橢圓方程，2、直線與二次曲線的位置關系．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　　）
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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